Projektovanje filtara

Za projektovanje filtara u MATLABu na raspolaganju je više funkcija. Za nas su trenutno od najvećeg značaja dvije grupe funkcija:

1. Funkcije za određivanje reda filtra:

[N, Wn] = buttord(Wp, Ws, Rp, Rs, 's')

[N, Wn] = cheb1ord(Wp, Ws, Rp, Rs, 's')

[N, Wn] = cheb2ord(Wp, Ws, Rp, Rs, 's')

[N, Wn] = ellipord(Wp, Ws, Rp, Rs, 's')

Ulazni argumenti svake od ovih funkcija su isti:

Wp – granična frekvencija propusnog opsega,

Ws – granična frekvencija nepropusnog opsega,

Rp – maksimalno dozvoljeno slabljenje u propusnom opsegu,

Rs – minimalno dozvoljeno slabljenje u nepropusnom opsegu.

Izlazni podaci iz svake od funkcija su:

N – red filtra potrebnog da bi se zadovoljile specifikacije,

Wn – granična frekvencija filtra (za svaki od filtara ima različito značenje, vidi dole)

2. Funkcije za određivanje funkcije prenosa filtra:

[b, a] = butter(N, Wn, 's')

Funkcija prenosa Batervortovog filtra, sa parametrima:

N – red filtra,

Wn – 3dB granična frekvencija.

[b, a] = cheby1(N, R, Wn, 's')

Funkcija prenosa Čebiševljevog filtra I vrste, sa parametrima:

N – red filtra,

R – dozvoljeno slabljenje u propusnom opsegu,

Wn – granična frekvencija propusnog opsega,

[b, a] = cheby2(N, R, Wn, 's')

Funkcija prenosa Čebiševljevog filtra II vrste, sa parametrima:

N – red filtra,

R – minimalno slabljenje u nepropusnom opsegu,

Wn – granična frekvencija nepropusnog opsega.

[b, a] = ellip(N, Rp, Rs, Wn, 's')

Funkcija prenosa eliptičkog filtra, sa parametrima:

N – red filtra,

Rp – dozvoljeno slabljenje u propusnom opsegu,

Rs – minimalno slabljenje u nepropusnom opsegu,

Wn – granična frekvencija propusnog opsega.

Izlaz iz svake od ovih funkcija su brojnik i nazivnik funkcije prenosa filtra, respektivno. Obratiti pažnju da poslednji argument ovih funkcija u slučaju analognih filtara mora biti ‘s’.

Proučiti svaku od ovih funkcija u MATLAB sistemu pomoći. Uočite da upravo opisana sintaksa funkcija odgovara projektovanju niskopropusnih filtara. Pronađite kako se zadaju argumenti za projektovanje visokopropusnih filtara, te propusnika i nepropusnika opsega.

Zadaci

1. Uticaj reda filtra na frekvencijsku karakteristiku

Projektovati Batervortove filtre drugog, petog i desetog reda sa maksimalnim slabljenjem u propusnom opsegu od 3dB.

Nacrtati amplitudske karakteristike svakog od dobijenih filtara na istom grafiku.

Šta se dešava sa amplitudskom karakteristikom filtra kada se red filtra povećava. Posmatrati slabljenje u propusnom i nepropusnom opsegu, te širinu prelaznog opsega.

Nacrtati impulsne odzive dobijenih filtara u trajanju od 20s (na istom grafiku). Kako se mijenjaju parametri impulsnog odziva kada se red filtra povećava.

Imajući u vidu ove dvije uporedne analize objasnite kako treba izabrati red filtra.

2. Uporedne karakteristike niskopropusnih filtara

a) Projektovati analogni prototip niskopropusnog filtra petog reda sa maksimalnim slabljenjem u propusnom opsegu od 3dB, i minimalnim slabljenjem u nepropusnom opsegu od 26dB koristeći:

1. Batervortovu aproksimaciju,
2. Čebiševljevu aproksimaciju prve vrste,
3. Čebiševljevu aproksimaciju druge vrste,
4. Eliptičku aproksimaciju.

Nacrtati amplitudske i fazne karakteristike svakog od dobijenih filtara, po mogućnosti na istom grafiku kako bi ih bilo moguće uporediti.

Kao što je poznato, za projektovanje filtra potrebno je zadati četiri parametra (ω_p, ω_s, A_p, A_s). Međutim, kada su zadata 3 parametra (ω_p = 1) i red filtra, tada je četvrti parametar jednoznačno određen za svaku metodu aproksimacije. U našem slučaju to je granična frekvencija nepropusnog opsega, ω_s, odnosno, širina prelaznog opsega.

Imajući ovo u vidu, uporedite širinu prelaznog opsega za ove četiri metode aproksimacije. Koji filtar pokazuje najbolje ponašanje s obzirom na ovaj parametar? Koji ste kriterijum uzeli u obzir prilikom izbora? Koje karakteristike izabranog filtra omogućavaju dobre performanse?

Uporedite fazne karakteristike projektovanih filtara. Koji filtar pokazuje najbolje ponašanje? Koji ste kriterijum uzeli u obzir prilikom izbora?

b) Odredite red Batervortovog, Čebiševljevog i eliptičkog filtra koji zadovoljava sledeće uslove: A_p = 1dB, A_s = 80dB, ω_s = 1.2.

Koji filtar je najefikasniji (ima najmanji red)?

3. Primjer filtriranja

Generisati složenoperiodični signal  

na intervalu 0:2, sa korakom dt = 1/8192, gdje je frekvencija osnovnog harmonika jednaka f₀ = 200Hz. Koliko elemenata ima dobijeni vektor?

Korišćenjem funkcije fplot nacrtati njegov spektar. Ova funkcija nije sastavni dio MATLAB-ovih standardnih biblioteka, a na pogodan način koristi ugrađenu funkciju za izračunavanje “brze Furijeove transformacije” da bi se odredio spektar signala. Njena sintaksa je:

fplot(xa, dt),

gdje je xa vektor koji sadrži vrijednosti (odmjerke) analognog signala u tačkama razmaknutim za dt (korak korišćen za generisanje signala).

Ukoliko je vaš računar opremljen zvučnom karticom dobijeni signal možete “odsvirati” pomoću naredbe sound(u).

Odrediti red Butterworthovog filtra koji zadovoljava sledeće zahtjeve: propusni opseg 0 <= f <= 450Hz, sa maksimalnim slabljenjem od 1dB; nepropusni opseg f >= 550Hz, sa minimalnim slabljenjem 26dB.

Odrediti funkciju prenosa tog filtra.

Nacrtati magnitudu funkcije prenosa, u funkciji frekvencije u Hz.

Nacrtati impulsni odziv tog filtra.

Korišćenjem funkcije lsim izvršiti simulaciju tog filtra kada se na njegov ulaz dovede signal u(t).

Nacrtati spektar izlaznog signala. Poslušati dobijeni signal.

Projektovati sada Butterworthov propusnik opsega koji zadovoljava sledeće specifikacije:

• propusni opseg 350Hz<=f <= 650Hz, sa maksimalnim slabljenjem 1dB,
• nepropusni opsezi f <= 300Hz i f >=700Hz, sa minimalnim slabljenjem 26dB.

Nacrtati frekvencijsku karakteristiku ovog filtra i njegov impulsni odziv.

Izvršiti simulaciju dobijenog filtra kada se na njegov ulaz dovede signal u(t). Nacrtati spektar izlaznog signala. Poslušati dobijeni signal.